Para-Raios | Conceitos essenciais no dimensionamento de Para-raios

Princípios do método da esfera rolante ou eletrogeométrico

Suponhamos que uma esfera condutora de raio esteja carregada com uma densidade de carga superficial . O ar em sua volta possui uma rigidez dielétrica . Calculemos: 

a) O valor máximo de  para que não haja ruptura de dielétrico no ar:

Apliquemos o teorema de Gauss a uma esfera de raio genérico , ou seja,

\[{\left( {x + a} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( \begin{array}{c}n\\k\end{array} \right){x^k}{a^{n – k}}} \]

\[{\varepsilon _0}\int\limits_0^{4\pi {r^2}} {\vec E \cdot d\vec s}  = \int\limits_0^{4\pi {R^2}} {{q_s}\,d\vec s} \]

\[{\varepsilon _0}4\pi {r^2}\left| {\vec E} \right| = {q_s}4\pi {R^2}\]

\[\left| {\vec E} \right| = \frac{{{q_s}}}{{{\varepsilon _0}}}\frac{{{R^2}}}{{{r^2}}}\]

onde:

\(R\) é o raio da esfera, em

\(r\) é o raio da superfície esférica gaussiana, em .

\(dv\) é o diferencial de volume da esfera gaussiana,

\(d\vec s\) é o vetor diferencial de superfície da esfera gaussiana,

\({\varepsilon _0}\) é a permissividade elétrica do vácuo \( = 8.854 \times {10^{ – 12}}\,\frac{{\rm{F}}}{{\rm{m}}}\)

\(\vec D\) é a densidade de fluxo elétrico ou indução elétrica, em \(\frac{{\rm{C}}}{{{{\rm{m}}^2}}}\)

\(\vec E\) é o campo elétrico, em \(\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}}\)

\({q_s}\) é a densidade de cargas na superfície da esfera de raio \(R\), em \(\frac{{\rm{C}}}{{{{\rm{m}}^2}}}\)

O valor máximo do módulo do campo elétrico \(\left| {\vec E} \right|\) se estabelece na periferia da esfera, quando \(r = R\), ou seja, teremos \(\left| {\vec E} \right| = \frac{{{q_s}}}{{{\varepsilon _0}}}\). Para que não haja ruptura de dielétrico, o valor máximo de \(\left| {\vec E} \right|\) é \(k\). Para os dados numéricos do problema, teremos a densidade superficial de cargas igual a \({q_s} = {\varepsilon _0}k = 26.563 \times {10^{ – 6}}\,\frac{{\rm{C}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\).

b) O valor máximo de potencial na casca esférica para não haver ruptura: considerando que o potencial no infinito tende a zero, podemos utilizar a expressão:

\[{\mathop{\rm div}\nolimits} \left( {\vec D} \right) = {\rho _v}\]

\[\oint_{} {{\mathop{\rm div}\nolimits} \left( {{\varepsilon _0}\vec E} \right) \cdot dv}  = \oint_{} {{\rho _v}\,dv} \]

\[{\varepsilon _0}\int\limits_0^{4\pi {r^2}} {\vec E \cdot d\vec s}  = Q\]

\[\left| {\vec E} \right| = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{Q}{{{r^2}}}\]

\[\vec E =  – {\mathop{\rm grad}\nolimits} \left( V \right)\]

\[ – \vec E = \frac{{\partial V}}{{\partial r}}{\hat r}\]

\[V =  – \int {\vec E \cdot d\vec r} \]

\[V =  – \int\limits_{ – \infty }^r {\frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{Q}r^2}\hat r \cdot d{\hat r} \]

\[V = \frac{Q}{{4\pi {\varepsilon _0}R}}\]

onde:

 \(R\) é o raio da casca esfera, em \(m\)

 \({\varepsilon _0}\) é a permissividade elétrica do vácuo \( = 8.854 \times {10^{ – 12}}\,\frac{{\rm{F}}}{{\rm{m}}}\)

 \(Q\) é a carga total da esfera \( = \int\limits_0^{4\pi {R^2}} {{q_s}\,d\vec s} \)

Observemos que a carga será dada por \(Q = {q_s}\,4\pi {R^2}\) que substituindo nesta equação resulta em \(V = \frac{{{q_s}R}}{{{\varepsilon _0}}} = kR = \left( {3 \times {{10}^6}\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}}} \right)\left( {20\,{\rm{m}}} \right) = 60\,{\rm{MV}}\). Observe-se que quanto maior o raio, maior pode ser a tensão, o que é coerente com o efeito de pontas (aumento de intensidade do campo elétrico em torno de uma ponta ou extremidade de uma estrutura ou objeto).